Механика
Задача
о космической птичке
о космической птичке
Спонсором этой статьи выступил тренер сборной Москвы по физике — и не зря! Здесь мы разбираем необычную задачу о движении с превышением скорости звука, а заодно погружаемся в теорию: что такое звук, как получить уравнение колебаний и оценить скорость звука в воздухе.
Что такое звук?
Если коротко, звук — это механические колебания молекул вещества, которые передаются в пространстве. Их появлению предшествует определённое возмущение, вследствие чего молекулы среды начинают колебаться. В воздухе, например, это вызывает избыточное давление в некоторых областях. Именно оно «толкает» близлежащие слои воздуха и приводит к дальнейшей передаче возмущения.
Если коротко, звук — это механические колебания молекул вещества, которые передаются в пространстве. Их появлению предшествует определённое возмущение, вследствие чего молекулы среды начинают колебаться. В воздухе, например, это вызывает избыточное давление в некоторых областях. Именно оно «толкает» близлежащие слои воздуха и приводит к дальнейшей передаче возмущения.
Оценка скорости звука
Одной из физических характеристик звуковых колебаний является скорость распространения звуковой волны. Она непосредственно зависит от характеристик среды и расстояния между её отдельными частицами. Наименьшей является данный показатель в газообразных средах, тогда как самой высокой — в телах, имеющих твердую кристаллическую структуру.
Скорость звука в воздухе составляет 340 м/с. Давайте разберём, как получить эту оценку. Здесь нам понадобиться знание производных. Можете пропустить этот вывод и переходить к задаче.
Рассмотрим столб газа. При распространении волны в газе, каждый элемент газа деформируется, что приводит к изменению давления и плотности.
Одной из физических характеристик звуковых колебаний является скорость распространения звуковой волны. Она непосредственно зависит от характеристик среды и расстояния между её отдельными частицами. Наименьшей является данный показатель в газообразных средах, тогда как самой высокой — в телах, имеющих твердую кристаллическую структуру.
Скорость звука в воздухе составляет 340 м/с. Давайте разберём, как получить эту оценку. Здесь нам понадобиться знание производных. Можете пропустить этот вывод и переходить к задаче.
Рассмотрим столб газа. При распространении волны в газе, каждый элемент газа деформируется, что приводит к изменению давления и плотности.
Σ — площадь поперечного сечения
y — относительное малое смещение
σ — механическое напряжение
ε — относительное смещение
y — относительное малое смещение
σ — механическое напряжение
ε — относительное смещение
Когда давление увеличивается, газ сжимается, т.е. положительное приращение давления δp прямо пропорционально относительной деформации ε со знаком минус.
$$
\delta p \sim \varepsilon
$$
На рисунке изображены силы, которые действуют на боковые стороны элемента. Эти силы сжимают наш элемент. Их можно выразить через механическое напряжение. Т.к. силы, действующие на правый и левый конец не равны, то центр масс фрагмента будет двигаться с ускорением.
$$
\begin{gathered}
\varepsilon=\frac{\partial y}{\partial x} \\
F=\sigma * \Sigma \\
\end{gathered}
$$
Воспользуемся теоремой о движения центра масс.
$$
\rho_0 \sum \Delta x \frac{\partial^2 \tilde{y}}{\partial t^2}=\sum(\delta p(x)-\delta p(x-\Delta x))
$$
Следует учесть, что давление есть функция плотности. Тогда можно выразить относительное смещение как:
$$
p=p(\rho) \quad
\Rightarrow
\delta p=\left(\frac{\partial p}{\partial \rho}\right)_{\rho_0} \delta \rho \quad
\Rightarrow
\varepsilon=-\frac{\delta p}{\rho_0}.
$$
Подставим и выполним преобразования.
$$
\begin{gathered}
& \rho_0 \sum \Delta x \frac{\partial^2 \tilde{y}}{\partial t^2}=\sum \rho_0 \cdot\left(\frac{\partial \rho}{\partial \rho}\right)_{\rho_0}(\varepsilon(x+\Delta x)-\varepsilon(x))=\sum \rho_0\left(\frac{\partial p}{\partial \rho}\right)_{\rho_0}\left(\left.\frac{\partial y}{\partial x}\right|_{x+\Delta x}-\left.\frac{\partial y}{\partial x}\right|_x\right)= \\
& \rho_0 \sum \Delta x \frac{\partial^2 \tilde{y}}{\partial t^2}=\sum \rho_0\left(\frac{\partial \rho}{\partial \rho}\right)_{\rho_0} \frac{\partial^2 \tilde{y}}{\partial x^2} \Delta x \\
& \frac{\partial^2 \tilde{y}}{\partial t^2}=\left(\frac{\partial \rho}{\partial \rho}\right)_{\rho_0} \frac{\partial^2 \tilde{y}}{\partial x^2} \\
\end{gathered}
$$
Поздравляю! Мы получили волновое уравнение звуковой волны. Коэффициент, который стоит в правой части и есть скорость распространения волны,
$$
c=\sqrt{\left(\frac{\partial p}{\partial \rho}\right)_{\rho_0}}
$$
Для воздуха зависимость давления от плотности можно рассмотреть в виде
$$
p=\text { const } \rho^\gamma \quad \gamma \approx 1,41
$$
С другой стороны давление можно выразить из уравнения Менделеева-Клапейрона (уравнение состояния идеального газа).
$$
P=\frac{\rho R T}{\mu}
$$
Подставим все в найденное выражение для скорости распространения волны.
$$
\begin{aligned}
& \left(\frac{\partial p}{\partial \rho}\right)_{\rho_0}=\text { const }\left.\gamma \cdot \rho^{\gamma-1}\right|_{\rho_0}=\left.\gamma \cdot \frac{\text { const } \cdot \rho^\gamma}{\rho}\right|_{\rho_0}=\left.\frac{\gamma p}{\rho_0}\right|_{\rho_0}=\frac{\gamma R T}{\mu} \\
& c=\sqrt{\frac{\gamma R T}{\mu}} \approx 340 \mathrm{~m} / \mathrm{c}
\end{aligned}
$$
Ультразвук
Современные технологии позволяют развивать скорость выше, чем скорость звука (например, ультразвуковые самолеты), т.е звук можно обогнать. При этом ультразвук находится за пределами слышимости человека. Рассмотрим задачу, основанную на этом явлении.
Современные технологии позволяют развивать скорость выше, чем скорость звука (например, ультразвуковые самолеты), т.е звук можно обогнать. При этом ультразвук находится за пределами слышимости человека. Рассмотрим задачу, основанную на этом явлении.
Задача о ультразвуке
Представим, что есть птица, которая увеличивает свою скорость в 10 раз, когда слышит хлопок в ладоши. Начальная скорость птицы 3 м/с. До какой максимальной скорости может разогнаться птица?
Указание: рассматриваем птичку с таким же диапазоном слуха, как и у человека,
Указание: рассматриваем птичку с таким же диапазоном слуха, как и у человека,
Решение
Сначала может показаться, что птица может разогнаться до бесконечной скорости. Тогда в чём смысл задачи?
Подсказка первая: самое важное в данной задаче, что птица должна услышать хлопок, чтобы увеличить свою скорость.
Сначала может показаться, что птица может разогнаться до бесконечной скорости. Тогда в чём смысл задачи?
Подсказка первая: самое важное в данной задаче, что птица должна услышать хлопок, чтобы увеличить свою скорость.
Шаг 1
Рассмотрим, что произойдет после первого хлопка. Птица слышит хлопок и увеличивает скорость в 10 раз, т. е. теперь скорость птицы 30 м/с.
Рассмотрим, что произойдет после первого хлопка. Птица слышит хлопок и увеличивает скорость в 10 раз, т. е. теперь скорость птицы 30 м/с.
Шаг 2
После третьего хлопка скорость увеличивается ещё в 100 раз, теперь она 3000 м/с.
Скорость звука 340 м/с, т. е. после третьего хлопка птица быстрее звука, а значит, сколько не хлопай, она больше не услышит звук.
После третьего хлопка скорость увеличивается ещё в 100 раз, теперь она 3000 м/с.
Скорость звука 340 м/с, т. е. после третьего хлопка птица быстрее звука, а значит, сколько не хлопай, она больше не услышит звук.
Шаг 3
Кажется, что уже всё, задача решена, но не всё так просто. Остался ещё один нюанс. Птица догнала и обогнала звук, а значит, она «догонит» и услышит первый и второй хлопок. Третий хлопок птица услышит лишь один раз, потому что, услышав его, сразу обгоняет звук. То есть она разгонится еще в 100 раз.
И ее финальная скорость будет 300 000 м/с или 300 км/с.
Кажется, что уже всё, задача решена, но не всё так просто. Остался ещё один нюанс. Птица догнала и обогнала звук, а значит, она «догонит» и услышит первый и второй хлопок. Третий хлопок птица услышит лишь один раз, потому что, услышав его, сразу обгоняет звук. То есть она разгонится еще в 100 раз.
И ее финальная скорость будет 300 000 м/с или 300 км/с.
Шаг 4
У птички получилось развить скорость большую, чем первая космическая скорость. Поэтому наша птичка сможет повидать другие галактики нашей Вселенной.
У птички получилось развить скорость большую, чем первая космическая скорость. Поэтому наша птичка сможет повидать другие галактики нашей Вселенной.
Космические скорости.
Список литературы:
- Дневник Физика. Что такое звук с точки зрения физики?
- Teach-in. Лекции ученых МГУ: Механика, Якута А.А.
Автор: Клименьтева Анастасия, студентка физического факультета МГУ
